Bernoulli Distribution

$f(x)=p^x(1-p)^{1-x}$

$E(x)=xf(x)= 0 * (1-p) + p= p$
$D(x)=p(1-p)$
抛一次硬币

求解唯一的参数 $\mu$ 或 $p$

• 根据似然函数

  • $p(\mathcal{D} \mid \mu)=\prod_{n=1}^N p\left(x_n \mid \mu\right)=\prod_{n=1}^N \mu^{x_n}(1-\mu)^{1-x_n}$

• 求对数似然函数

  • $\ln p(\mathcal{D} \mid \mu)=\sum_{n=1}^N \ln p\left(x_n \mid \mu\right)=\sum_{n=1}^N\left\{x_n \ln \mu+\left(1-x_n\right) \ln (1-\mu)\right\}$

• 对对数似然求导，令结果等于 0

  • $\mu_{\mathrm{ML}}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N x_n$

样本的均值是伯努利分布的[[充分统计量]] sufficient statistic
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（分布的参数 $\mu$ 可以由该统计量估计得到）